Resolver 11y^2+y=2

$$11 y ^ { 2 } + y = 2$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}\approx 0.383362779$$

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}\approx -0.47427187$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$11y^{2}+y=2$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11y^{2}+y-2=2-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$11y^{2}+y-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 11 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Egin 1 ber bi.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Egin -4 bider 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Egin -44 bider -2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+88}}{2\times 11}$$

Gehitu 1 eta 88.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{2\times 11}$$

Egin 2 bider 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta \sqrt{89}.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{89} ken -1.

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$11y^{2}+y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$\frac{11y^{2}+y}{11}=\frac{2}{11}$$

11 balioarekin zatituz gero, 11 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y=\frac{2}{11}$$

Zatitu \frac{1}{11} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{22} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{22} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{22} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{2}{11}+\frac{1}{484}$$

Gehitu \frac{2}{11} eta \frac{1}{484} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{89}{484}$$

Atera y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{89}{484}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{484}}$$

Sinplifikatu.

$$y+\frac{1}{22}=\frac{\sqrt{89}}{22} y+\frac{1}{22}=-\frac{\sqrt{89}}{22}$$

Egin ken \frac{1}{22} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$