Resolver 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Ebatzi: y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 3y^{2} bi aldeetatik.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -3y^{2}+ay+by+4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=12 b=-1$$

Berridatzi -3y^{2}+11y+4 honela: \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Deskonposatu 3y -3y^{2}+12y taldean.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Deskonposatu -y+4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -y+4=0 eta 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu 3y^{2} bi aldeetatik.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 11 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 11 ber bi.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 121 eta 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-11±13}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -11 eta 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Murriztu \frac{2}{-6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-11±13}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Zatitu -24 balioa -6 balioarekin.

$$y=4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Karratua osatzeko urratsak

Kendu 3y^{2} bi aldeetatik.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Zatitu 11 balioa -3 balioarekin.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Zatitu -4 balioa -3 balioarekin.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Zatitu -\frac{11}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta \frac{121}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Atera y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Gehitu \frac{11}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$