Resolver 11x^2-31x-6=0

$$11 x ^ { 2 } - 31 x - 6 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 11x^{2}+ax+bx-6 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-31 ab=11\left(-6\right)=-66$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -66 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-66 2,-33 3,-22 6,-11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-66=-65 2-33=-31 3-22=-19 6-11=-5$$

-31 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-33 b=2$$

Berridatzi 11x^{2}-31x-6 honela: \left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right)$$

Deskonposatu 11x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$11x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(11x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 11x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 11 balioa a balioarekin, -31 balioa b balioarekin, eta -6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Egin -31 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Egin -4 bider 11.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-44\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Egin -44 bider -6.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+264}}{2\times 11}$$

Gehitu 961 eta 264.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1225}}{2\times 11}$$

Atera 1225 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±35}{2\times 11}$$

-31 zenbakiaren aurkakoa 31 da.

$$x=\frac{31±35}{2\times 11}$$

Egin 2 bider 11.

$$x=\frac{31±35}{22}$$

Orain, ebatzi x=\frac{31±35}{22} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 31 eta 35.

$$x=\frac{66}{22}$$

Zatitu 66 balioa 22 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{31±35}{22} ekuazioa ± minus denean. Egin 35 ken 31.

$$x=-\frac{4}{22}$$

Murriztu \frac{-4}{22} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{11}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x^{2}-31x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$11x^{2}-31x=-\left(-6\right)$$

Egin -6 ken 0.

$$11x^{2}-31x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$\frac{11x^{2}-31x}{11}=\frac{6}{11}$$

11 balioarekin zatituz gero, 11 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x=\frac{6}{11}$$

Zatitu -\frac{31}{11} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{31}{22} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{31}{22} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{6}{11}+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}$$

Egin -\frac{31}{22} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{6}{11}+\frac{961}{484}$$

Gehitu \frac{6}{11} eta \frac{961}{484} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{1225}{484}$$

Atera x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{1225}{484}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{484}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{31}{22}=\frac{35}{22} x-\frac{31}{22}=-\frac{35}{22}$$

Gehitu \frac{31}{22} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$