Resolver 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 11 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 13 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Egin -4 bider 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Egin -44 bider 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Gehitu 100 eta -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Atera -472 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Egin 2 bider 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Zatitu 10+2i\sqrt{118} balioa 22 balioarekin.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{118} ken 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Zatitu 10-2i\sqrt{118} balioa 22 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Egin ken 13 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

13 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

11 balioarekin zatituz gero, 11 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Zatitu -\frac{10}{11} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{11} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{11} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{11} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Gehitu -\frac{13}{11} eta \frac{25}{121} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Atera x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Gehitu \frac{5}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$