Resolver 11x^2+40x-112=0

$$11 x ^ { 2 } + 40 x - 112 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{4 \sqrt{102} - 20}{11} \approx 1.854365432$$

$$x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}\approx -5.490729068$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$11x^{2}+40x-112=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 11 balioa a balioarekin, 40 balioa b balioarekin, eta -112 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 11\left(-112\right)}}{2\times 11}$$

Egin 40 ber bi.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 11\left(-112\right)}}{2\times 11}$$

Egin -4 bider 11.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-44\left(-112\right)}}{2\times 11}$$

Egin -44 bider -112.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4928}}{2\times 11}$$

Gehitu 1600 eta 4928.

$$x=\frac{-40±\sqrt{6528}}{2\times 11}$$

Atera 6528 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{2\times 11}$$

Egin 2 bider 11.

$$x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{22}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{22} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -40 eta 8\sqrt{102}.

$$x=\frac{8\sqrt{102}-40}{22}$$

Zatitu -40+8\sqrt{102} balioa 22 balioarekin.

$$x=\frac{4\sqrt{102}-20}{11}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-40±8\sqrt{102}}{22} ekuazioa ± minus denean. Egin 8\sqrt{102} ken -40.

$$x=\frac{-8\sqrt{102}-40}{22}$$

Zatitu -40-8\sqrt{102} balioa 22 balioarekin.

$$x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{4\sqrt{102}-20}{11} x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$11x^{2}+40x-112=0$$

Gehitu 112 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x^{2}+40x-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

-112 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$11x^{2}+40x=-\left(-112\right)$$

Egin -112 ken 0.

$$11x^{2}+40x=112$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$\frac{11x^{2}+40x}{11}=\frac{112}{11}$$

11 balioarekin zatituz gero, 11 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{40}{11}x=\frac{112}{11}$$

Zatitu \frac{40}{11} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{20}{11} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{20}{11} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{40}{11}x+\left(\frac{20}{11}\right)^{2}=\frac{112}{11}+\left(\frac{20}{11}\right)^{2}$$

Egin \frac{20}{11} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{40}{11}x+\frac{400}{121}=\frac{112}{11}+\frac{400}{121}$$

Gehitu \frac{112}{11} eta \frac{400}{121} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{40}{11}x+\frac{400}{121}=\frac{1632}{121}$$

Atera x^{2}+\frac{40}{11}x+\frac{400}{121} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{20}{11}\right)^{2}=\frac{1632}{121}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{20}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1632}{121}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{20}{11}=\frac{4\sqrt{102}}{11} x+\frac{20}{11}=-\frac{4\sqrt{102}}{11}$$

Egin ken \frac{20}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4\sqrt{102}-20}{11} x=\frac{-4\sqrt{102}-20}{11}$$