Resolver 1024x^2+768x+1280=0

$$1024 { x }^{ 2 } +768x+1280=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0.375+1.053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0.375-1.053268722i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1024 balioa a balioarekin, 768 balioa b balioarekin, eta 1280 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-768±\sqrt{768^{2}-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

Egin 768 ber bi.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

Egin -4 bider 1024.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4096\times 1280}}{2\times 1024}$$

Egin -4096 bider 1280.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-5242880}}{2\times 1024}$$

Gehitu 589824 eta -5242880.

$$x=\frac{-768±\sqrt{-4653056}}{2\times 1024}$$

Atera -4653056 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2\times 1024}$$

Egin 2 bider 1024.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -768 eta 256i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-768+256\sqrt{71}i}{2048}$$

Zatitu -768+256i\sqrt{71} balioa 2048 balioarekin.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048} ekuazioa ± minus denean. Egin 256i\sqrt{71} ken -768.

$$x=\frac{-256\sqrt{71}i-768}{2048}$$

Zatitu -768-256i\sqrt{71} balioa 2048 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

Egin ken 1280 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1024x^{2}+768x+1280-1280=-1280$$

1280 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$1024x^{2}+768x=-1280$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1024 balioarekin.

$$\frac{1024x^{2}+768x}{1024}=-\frac{1280}{1024}$$

1024 balioarekin zatituz gero, 1024 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{768}{1024}x=-\frac{1280}{1024}$$

Murriztu \frac{768}{1024} zatikia gai txikienera, 256 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1280}{1024}$$

Murriztu \frac{-1280}{1024} zatikia gai txikienera, 256 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Zatitu \frac{3}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

Gehitu -\frac{5}{4} eta \frac{9}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

Egin ken \frac{3}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$