Resolver 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1.352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0.147920271$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 10 balioa a balioarekin, -15 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Egin -15 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Egin -4 bider 10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

Egin -40 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

Gehitu 225 eta -80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Egin 2 bider 10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 15 eta \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

Zatitu 15+\sqrt{145} balioa 20 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{145} ken 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

Zatitu 15-\sqrt{145} balioa 20 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$10x^{2}-15x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

10 balioarekin zatituz gero, 10 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

Murriztu \frac{-15}{10} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

Murriztu \frac{-2}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

Gehitu -\frac{1}{5} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$