Resolver 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 10x^{2}+ax+bx-12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -120 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=15$$

Berridatzi 10x^{2}+7x-12 honela: \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Deskonposatu 5x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 5x-4=0 eta 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 10 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta -12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Egin -4 bider 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Egin -40 bider -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Gehitu 49 eta 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Atera 529 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Egin 2 bider 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±23}{20} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Murriztu \frac{16}{20} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±23}{20} ekuazioa ± minus denean. Egin 23 ken -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Murriztu \frac{-30}{20} zatikia gai txikienera, 10 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Egin -12 ken 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

10 balioarekin zatituz gero, 10 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Murriztu \frac{12}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Zatitu \frac{7}{10} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{20} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{20} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{20} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Gehitu \frac{6}{5} eta \frac{49}{400} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Egin ken \frac{7}{20} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$