Resolver 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Ebatzi: k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 10k^{2}+ak+bk-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -10 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,10 -2,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-1 b=10$$

Berridatzi 10k^{2}+9k-1 honela: \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Deskonposatu k 10k^{2}-k taldean.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Deskonposatu 10k-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 10k-1=0 eta k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 10 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Egin 9 ber bi.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Egin -4 bider 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Egin -40 bider -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Gehitu 81 eta 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Egin 2 bider 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-9±11}{20} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Murriztu \frac{2}{20} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k=\frac{1}{10}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-9±11}{20} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Zatitu -20 balioa 20 balioarekin.

$$k=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10 balioarekin zatituz gero, 10 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Zatitu \frac{9}{10} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{9}{20} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{9}{20} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Egin \frac{9}{20} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Gehitu \frac{1}{10} eta \frac{81}{400} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Atera k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Egin ken \frac{9}{20} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$