Resolver 10b^2-124b+144=0

$$10 b ^ { 2 } - 124 b + 144 = 0$$

Ebatzi: b

$$b = \frac{\sqrt{601} + 31}{5} \approx 11.103060269$$

$$b = \frac{31 - \sqrt{601}}{5} \approx 1.296939731$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$10b^{2}-124b+144=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 10 balioa a balioarekin, -124 balioa b balioarekin, eta 144 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$b=\frac{-\left(-124\right)±\sqrt{\left(-124\right)^{2}-4\times 10\times 144}}{2\times 10}$$

Egin -124 ber bi.

$$b=\frac{-\left(-124\right)±\sqrt{15376-4\times 10\times 144}}{2\times 10}$$

Egin -4 bider 10.

$$b=\frac{-\left(-124\right)±\sqrt{15376-40\times 144}}{2\times 10}$$

Egin -40 bider 144.

$$b=\frac{-\left(-124\right)±\sqrt{15376-5760}}{2\times 10}$$

Gehitu 15376 eta -5760.

$$b=\frac{-\left(-124\right)±\sqrt{9616}}{2\times 10}$$

Atera 9616 balioaren erro karratua.

$$b=\frac{-\left(-124\right)±4\sqrt{601}}{2\times 10}$$

-124 zenbakiaren aurkakoa 124 da.

$$b=\frac{124±4\sqrt{601}}{2\times 10}$$

Egin 2 bider 10.

$$b=\frac{124±4\sqrt{601}}{20}$$

Orain, ebatzi b=\frac{124±4\sqrt{601}}{20} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 124 eta 4\sqrt{601}.

$$b=\frac{4\sqrt{601}+124}{20}$$

Zatitu 124+4\sqrt{601} balioa 20 balioarekin.

$$b=\frac{\sqrt{601}+31}{5}$$

Orain, ebatzi b=\frac{124±4\sqrt{601}}{20} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{601} ken 124.

$$b=\frac{124-4\sqrt{601}}{20}$$

Zatitu 124-4\sqrt{601} balioa 20 balioarekin.

$$b=\frac{31-\sqrt{601}}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$b=\frac{\sqrt{601}+31}{5} b=\frac{31-\sqrt{601}}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$10b^{2}-124b+144=0$$

Egin ken 144 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10b^{2}-124b+144-144=-144$$

144 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$10b^{2}-124b=-144$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$\frac{10b^{2}-124b}{10}=-\frac{144}{10}$$

10 balioarekin zatituz gero, 10 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b^{2}+\left(-\frac{124}{10}\right)b=-\frac{144}{10}$$

Murriztu \frac{-124}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b^{2}-\frac{62}{5}b=-\frac{144}{10}$$

Murriztu \frac{-144}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b^{2}-\frac{62}{5}b=-\frac{72}{5}$$

Zatitu -\frac{62}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{31}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{31}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$b^{2}-\frac{62}{5}b+\left(-\frac{31}{5}\right)^{2}=-\frac{72}{5}+\left(-\frac{31}{5}\right)^{2}$$

Egin -\frac{31}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$b^{2}-\frac{62}{5}b+\frac{961}{25}=-\frac{72}{5}+\frac{961}{25}$$

Gehitu -\frac{72}{5} eta \frac{961}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$b^{2}-\frac{62}{5}b+\frac{961}{25}=\frac{601}{25}$$

Atera b^{2}-\frac{62}{5}b+\frac{961}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(b-\frac{31}{5}\right)^{2}=\frac{601}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(b-\frac{31}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{601}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$b-\frac{31}{5}=\frac{\sqrt{601}}{5} b-\frac{31}{5}=-\frac{\sqrt{601}}{5}$$

Gehitu \frac{31}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=\frac{\sqrt{601}+31}{5} b=\frac{31-\sqrt{601}}{5}$$