Resolver 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7.348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7.348469228i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

100 lortzeko, egin 10 ber 2.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

64 lortzeko, egin 8 ber 2.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

\left(12-x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

144-24x+x^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

-80 lortzeko, 64 balioari kendu 144.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Kendu -80 bi aldeetatik.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

-80 zenbakiaren aurkakoa 80 da.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Kendu 24x bi aldeetatik.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

180 lortzeko, gehitu 100 eta 80.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta 180 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Egin -24 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Gehitu 576 eta -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Atera -864 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

-24 zenbakiaren aurkakoa 24 da.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 24 eta 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Zatitu 24+12i\sqrt{6} balioa 4 balioarekin.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 12i\sqrt{6} ken 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Zatitu 24-12i\sqrt{6} balioa 4 balioarekin.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Karratua osatzeko urratsak

100 lortzeko, egin 10 ber 2.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

64 lortzeko, egin 8 ber 2.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

\left(12-x\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

144-24x+x^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

-80 lortzeko, 64 balioari kendu 144.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Kendu 24x bi aldeetatik.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Gehitu x^{2} bi aldeetan.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Kendu 100 bi aldeetatik.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

-180 lortzeko, -80 balioari kendu 100.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Zatitu -24 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Zatitu -180 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}-12x=-90$$

Zatitu -12 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -6 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -6 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Egin -6 ber bi.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Gehitu -90 eta 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Atera x^{2}-12x+36 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Sinplifikatu.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$