Resolver 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Ebatzi: t

$$t=1$$

$$t=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -t^{2}+at+bt-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=2 b=1$$

Berridatzi -t^{2}+3t-2 honela: \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Deskonposatu -t -t^{2}+2t taldean.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Deskonposatu t-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi t-2=0 eta -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -16 balioa a balioarekin, 48 balioa b balioarekin, eta -32 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 48 ber bi.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Egin -4 bider -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 64 bider -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Gehitu 2304 eta -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Egin 2 bider -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-48±16}{-32} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -48 eta 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Zatitu -32 balioa -32 balioarekin.

$$t=1$$

Orain, ebatzi t=\frac{-48±16}{-32} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Zatitu -64 balioa -32 balioarekin.

$$t=2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=1 t=2$$

Karratua osatzeko urratsak

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Gehitu 32 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

-16 balioarekin zatituz gero, -16 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Zatitu 48 balioa -16 balioarekin.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Zatitu 32 balioa -16 balioarekin.

$$t^{2}-3t=-2$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Gehitu -2 eta \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Atera t^{2}-3t+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=2 t=1$$