Resolver -5.1t+4.9t^2=105

$$-5.1t+4.9 { t }^{ 2 } = 105$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{\sqrt{208401} + 51}{98} \approx 5.178669221$$

$$t=\frac{51-\sqrt{208401}}{98}\approx -4.137852895$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4.9t^{2}-5.1t=105$$

Egin ken 105 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4.9t^{2}-5.1t-105=105-105$$

105 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$4.9t^{2}-5.1t-105=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4.9 balioa a balioarekin, -5.1 balioa b balioarekin, eta -105 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-\left(-5.1\right)±\sqrt{\left(-5.1\right)^{2}-4\times 4.9\left(-105\right)}}{2\times 4.9}$$

Egin -5.1 ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t=\frac{-\left(-5.1\right)±\sqrt{26.01-4\times 4.9\left(-105\right)}}{2\times 4.9}$$

Egin -4 bider 4.9.

$$t=\frac{-\left(-5.1\right)±\sqrt{26.01-19.6\left(-105\right)}}{2\times 4.9}$$

Egin -19.6 bider -105.

$$t=\frac{-\left(-5.1\right)±\sqrt{26.01+2058}}{2\times 4.9}$$

Gehitu 26.01 eta 2058.

$$t=\frac{-\left(-5.1\right)±\sqrt{2084.01}}{2\times 4.9}$$

Atera 2084.01 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-\left(-5.1\right)±\frac{\sqrt{208401}}{10}}{2\times 4.9}$$

-5.1 zenbakiaren aurkakoa 5.1 da.

$$t=\frac{5.1±\frac{\sqrt{208401}}{10}}{2\times 4.9}$$

Egin 2 bider 4.9.

$$t=\frac{5.1±\frac{\sqrt{208401}}{10}}{9.8}$$

Orain, ebatzi t=\frac{5.1±\frac{\sqrt{208401}}{10}}{9.8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5.1 eta \frac{\sqrt{208401}}{10}.

$$t=\frac{\sqrt{208401}+51}{9.8\times 10}$$

Zatitu \frac{51+\sqrt{208401}}{10} balioa 9.8 frakzioarekin, \frac{51+\sqrt{208401}}{10} balioa 9.8 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t=\frac{\sqrt{208401}+51}{98}$$

Orain, ebatzi t=\frac{5.1±\frac{\sqrt{208401}}{10}}{9.8} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{\sqrt{208401}}{10} ken 5.1.

$$t=\frac{51-\sqrt{208401}}{9.8\times 10}$$

Zatitu \frac{51-\sqrt{208401}}{10} balioa 9.8 frakzioarekin, \frac{51-\sqrt{208401}}{10} balioa 9.8 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t=\frac{51-\sqrt{208401}}{98}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{\sqrt{208401}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{208401}}{98}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$4.9t^{2}-5.1t=105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4.9 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{4.9t^{2}-5.1t}{4.9}=\frac{105}{4.9}$$

4.9 balioarekin zatituz gero, 4.9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\left(-\frac{5.1}{4.9}\right)t=\frac{105}{4.9}$$

Zatitu -5.1 balioa 4.9 frakzioarekin, -5.1 balioa 4.9 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{4.9}$$

Zatitu 105 balioa 4.9 frakzioarekin, 105 balioa 4.9 frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{150}{7}$$

Zatitu -\frac{51}{49} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{51}{98} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{51}{98} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{150}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

Egin -\frac{51}{98} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{150}{7}+\frac{2601}{9604}$$

Gehitu \frac{150}{7} eta \frac{2601}{9604} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{208401}{9604}$$

Atera t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{208401}{9604}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{208401}{9604}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{208401}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{208401}}{98}$$

Gehitu \frac{51}{98} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{\sqrt{208401}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{208401}}{98}$$