Resolver -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, 20 balioa b balioarekin, eta -47 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 20 ber bi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 16 bider -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 400 eta -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Atera -352 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -20 eta 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Zatitu -20+4i\sqrt{22} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{22} ken -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Zatitu -20-4i\sqrt{22} balioa -8 balioarekin.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Gehitu 47 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

-47 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Egin -47 ken 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Zatitu 20 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Zatitu 47 balioa -4 balioarekin.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Zatitu -5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Gehitu -\frac{47}{4} eta \frac{25}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Atera x^{2}-5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$