Resolver -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9.722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4.388670163$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 16 balioa b balioarekin, eta 128 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 16 ber bi.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 256 eta 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 1792 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -16 eta 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Zatitu -16+16\sqrt{7} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 16\sqrt{7} ken -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Zatitu -16-16\sqrt{7} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Egin ken 128 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

128 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Zatitu 16 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Zatitu -128 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Zatitu -\frac{16}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{8}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{8}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{8}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Gehitu \frac{128}{3} eta \frac{64}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$