Resolver -y^2+6y+7=0

$$- y ^ { 2 } + 6 y + 7 = 0$$

Ebatzi: y

$$y=-1$$

$$y=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -y^{2}+ay+by+7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=7 b=-1$$

Berridatzi -y^{2}+6y+7 honela: \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right)$$

Deskonposatu -y lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$-y\left(y-7\right)-\left(y-7\right)$$

Deskonposatu y-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-7\right)\left(-y-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-7=0 eta -y-1=0.

$$y=7 y=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 6 ber bi.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 7.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 36 eta 28.

$$y=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$y=\frac{-6±8}{-2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-6±8}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 8.

$$y=\frac{2}{-2}$$

Zatitu 2 balioa -2 balioarekin.

$$y=-1$$

Orain, ebatzi y=\frac{-6±8}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken -6.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Zatitu -14 balioa -2 balioarekin.

$$y=7$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=-1 y=7$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y^{2}+6y+7-7=-7$$

7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-y^{2}+6y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-y^{2}+6y}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{6}{-1}y=-\frac{7}{-1}$$

Zatitu 6 balioa -1 balioarekin.

$$y^{2}-6y=-\frac{7}{-1}$$

Zatitu -7 balioa -1 balioarekin.

$$y^{2}-6y=7$$

Zatitu -6 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -3 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -3 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Egin -3 ber bi.

$$y^{2}-6y+9=7+9$$

Gehitu 7 eta 9.

$$y^{2}-6y+9=16$$

Atera y^{2}-6y+9 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-3\right)^{2}=16$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sinplifikatu.

$$y-3=4 y-3=-4$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=7 y=-1$$