Resolver -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11.937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3.937253933$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 8 balioa b balioarekin, eta 47 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 8 ber bi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 64 eta 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 252 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -8 eta 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Zatitu -8+6\sqrt{7} balioa -2 balioarekin.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 6\sqrt{7} ken -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Zatitu -8-6\sqrt{7} balioa -2 balioarekin.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Egin ken 47 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

47 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Zatitu 8 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Zatitu -47 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-8x=47$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Gehitu 47 eta 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Atera x^{2}-8x+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Sinplifikatu.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$