Resolver -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -15 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,15 -3,5$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=5 b=-3$$

Berridatzi -x^{2}+2x+15 honela: \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Deskonposatu x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-5=0 eta -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta 15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 4 eta 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±8}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Zatitu 6 balioa -2 balioarekin.

$$x=-3$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±8}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Zatitu -10 balioa -2 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-3 x=5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Zatitu 2 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Zatitu -15 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-2x=15$$

Zatitu -2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Gehitu 15 eta 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Atera x^{2}-2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sinplifikatu.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=-3$$