Resolver -5z^2-4z+3=0

$$- 5 z ^ { 2 } - 4 z + 3 = 0$$

Ebatzi: z

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}\approx 0.471779789$$

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}\approx -1.271779789$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -5 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Egin -4 ber bi.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Egin -4 bider -5.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 20 bider 3.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+60}}{2\left(-5\right)}$$

Gehitu 16 eta 60.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{76}}{2\left(-5\right)}$$

Atera 76 balioaren erro karratua.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 2 bider -5.

$$z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10}$$

Orain, ebatzi z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 2\sqrt{19}.

$$z=\frac{2\sqrt{19}+4}{-10}$$

Zatitu 4+2\sqrt{19} balioa -10 balioarekin.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$

Orain, ebatzi z=\frac{4±2\sqrt{19}}{-10} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{19} ken 4.

$$z=\frac{4-2\sqrt{19}}{-10}$$

Zatitu 4-2\sqrt{19} balioa -10 balioarekin.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{\sqrt{19}-2}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-5z^{2}-4z+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5z^{2}-4z+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-5z^{2}-4z=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$\frac{-5z^{2}-4z}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

-5 balioarekin zatituz gero, -5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$z^{2}+\left(-\frac{4}{-5}\right)z=-\frac{3}{-5}$$

Zatitu -4 balioa -5 balioarekin.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=-\frac{3}{-5}$$

Zatitu -3 balioa -5 balioarekin.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z=\frac{3}{5}$$

Zatitu \frac{4}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Gehitu \frac{3}{5} eta \frac{4}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25}=\frac{19}{25}$$

Atera z^{2}+\frac{4}{5}z+\frac{4}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{19}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(z+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$z+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{19}}{5} z+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{19}}{5}$$

Egin ken \frac{2}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$z=\frac{\sqrt{19}-2}{5} z=\frac{-\sqrt{19}-2}{5}$$