Resolver -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2.087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0.287434209$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Egin -3 ken 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -5 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 9 ber bi.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Egin -4 bider -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 20 bider 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Gehitu 81 eta 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 2 bider -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Zatitu -9+\sqrt{141} balioa -10 balioarekin.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{141} ken -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Zatitu -9-\sqrt{141} balioa -10 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

-5 balioarekin zatituz gero, -5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Zatitu 9 balioa -5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Zatitu -3 balioa -5 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Zatitu -\frac{9}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Gehitu \frac{3}{5} eta \frac{81}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Atera x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Gehitu \frac{9}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$