Resolver -5k^2+9k-3=0

$$- 5 k ^ { 2 } + 9 k - 3 = 0$$

Ebatzi: k

$$k = \frac{\sqrt{21} + 9}{10} \approx 1.358257569$$

$$k=\frac{9-\sqrt{21}}{10}\approx 0.441742431$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-5k^{2}+9k-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -5 balioa a balioarekin, 9 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 9 ber bi.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Egin -4 bider -5.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 20 bider -3.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-60}}{2\left(-5\right)}$$

Gehitu 81 eta -60.

$$k=\frac{-9±\sqrt{21}}{2\left(-5\right)}$$

Egin 2 bider -5.

$$k=\frac{-9±\sqrt{21}}{-10}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-9±\sqrt{21}}{-10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -9 eta \sqrt{21}.

$$k=\frac{\sqrt{21}-9}{-10}$$

Zatitu -9+\sqrt{21} balioa -10 balioarekin.

$$k=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-9±\sqrt{21}}{-10} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{21} ken -9.

$$k=\frac{-\sqrt{21}-9}{-10}$$

Zatitu -9-\sqrt{21} balioa -10 balioarekin.

$$k=\frac{\sqrt{21}+9}{10}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=\frac{9-\sqrt{21}}{10} k=\frac{\sqrt{21}+9}{10}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-5k^{2}+9k-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5k^{2}+9k-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-5k^{2}+9k=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$-5k^{2}+9k=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$\frac{-5k^{2}+9k}{-5}=\frac{3}{-5}$$

-5 balioarekin zatituz gero, -5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{9}{-5}k=\frac{3}{-5}$$

Zatitu 9 balioa -5 balioarekin.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k=\frac{3}{-5}$$

Zatitu 3 balioa -5 balioarekin.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k=-\frac{3}{5}$$

Zatitu -\frac{9}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{10} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{10} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{10} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k+\frac{81}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{81}{100} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k^{2}-\frac{9}{5}k+\frac{81}{100}=\frac{21}{100}$$

Atera k^{2}-\frac{9}{5}k+\frac{81}{100} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{21}{100}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{100}}$$

Sinplifikatu.

$$k-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{21}}{10} k-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{21}}{10}$$

Gehitu \frac{9}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=\frac{\sqrt{21}+9}{10} k=\frac{9-\sqrt{21}}{10}$$