Resolver -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Ebatzi: b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5.311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0.188262309$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -4 balioa a balioarekin, 22 balioa b balioarekin, eta -4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 22 ber bi.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin -4 bider -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 16 bider -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Gehitu 484 eta -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Atera 420 balioaren erro karratua.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Egin 2 bider -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Orain, ebatzi b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -22 eta 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Zatitu -22+2\sqrt{105} balioa -8 balioarekin.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Orain, ebatzi b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{105} ken -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Zatitu -22-2\sqrt{105} balioa -8 balioarekin.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Egin -4 ken 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

-4 balioarekin zatituz gero, -4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Murriztu \frac{22}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Zatitu 4 balioa -4 balioarekin.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Zatitu -\frac{11}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Gehitu -1 eta \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Atera b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Gehitu \frac{11}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$