Resolver -3y^2-25+16y=0

$$- 3 y ^ { 2 } - 25 + 16 y = 0$$

Ebatzi: y

$$y=\frac{-\sqrt{11}i+8}{3}\approx 2.666666667-1.105541597i$$

$$y=\frac{8+\sqrt{11}i}{3}\approx 2.666666667+1.105541597i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3y^{2}+16y-25=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 16 balioa b balioarekin, eta -25 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\left(-25\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 16 ber bi.

$$y=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\left(-25\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$y=\frac{-16±\sqrt{256+12\left(-25\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider -25.

$$y=\frac{-16±\sqrt{256-300}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 256 eta -300.

$$y=\frac{-16±\sqrt{-44}}{2\left(-3\right)}$$

Atera -44 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-16±2\sqrt{11}i}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$y=\frac{-16±2\sqrt{11}i}{-6}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-16±2\sqrt{11}i}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -16 eta 2i\sqrt{11}.

$$y=\frac{-16+2\sqrt{11}i}{-6}$$

Zatitu -16+2i\sqrt{11} balioa -6 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{11}i+8}{3}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-16±2\sqrt{11}i}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{11} ken -16.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}i-16}{-6}$$

Zatitu -16-2i\sqrt{11} balioa -6 balioarekin.

$$y=\frac{8+\sqrt{11}i}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{-\sqrt{11}i+8}{3} y=\frac{8+\sqrt{11}i}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3y^{2}+16y-25=0$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y^{2}+16y-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

-25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3y^{2}+16y=-\left(-25\right)$$

Egin -25 ken 0.

$$-3y^{2}+16y=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3y^{2}+16y}{-3}=\frac{25}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{16}{-3}y=\frac{25}{-3}$$

Zatitu 16 balioa -3 balioarekin.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y=\frac{25}{-3}$$

Zatitu 25 balioa -3 balioarekin.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y=-\frac{25}{3}$$

Zatitu -\frac{16}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{8}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{8}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{8}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}=-\frac{25}{3}+\frac{64}{9}$$

Gehitu -\frac{25}{3} eta \frac{64}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}=-\frac{11}{9}$$

Atera y^{2}-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} y-\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Gehitu \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{8+\sqrt{11}i}{3} y=\frac{-\sqrt{11}i+8}{3}$$