Resolver -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=4$$

$$x=13$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx-52 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 52 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,52 2,26 4,13$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=13 b=4$$

Berridatzi -x^{2}+17x-52 honela: \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Deskonposatu x-13 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-13=0 eta -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 51 balioa b balioarekin, eta -156 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 51 ber bi.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 2601 eta -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Atera 729 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-51±27}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -51 eta 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Zatitu -24 balioa -6 balioarekin.

$$x=4$$

Orain, ebatzi x=\frac{-51±27}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin 27 ken -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Zatitu -78 balioa -6 balioarekin.

$$x=13$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=4 x=13$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Gehitu 156 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

-156 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Egin -156 ken 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Zatitu 51 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Zatitu 156 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-17x=-52$$

Zatitu -17 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{17}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{17}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{17}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Gehitu -52 eta \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Atera x^{2}-17x+\frac{289}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Gehitu \frac{17}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=13 x=4$$