Resolver -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0.833333333-0.799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0.833333333+0.799305254i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 25 eta -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Atera -23 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Zatitu -5+i\sqrt{23} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{23} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Zatitu -5-i\sqrt{23} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Egin -4 ken 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Zatitu 5 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Zatitu 4 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Zatitu -\frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Gehitu -\frac{4}{3} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$