Resolver -3x^2+5x-1=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1.434258546$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}\approx 0.232408121$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -3 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin -4 bider -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 12 bider -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

Gehitu 25 eta -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

Egin 2 bider -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

Zatitu -5+\sqrt{13} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{13} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

Zatitu -5-\sqrt{13} balioa -6 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$-3x^{2}+5x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

-3 balioarekin zatituz gero, -3 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Zatitu 5 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Zatitu 1 balioa -3 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Zatitu -\frac{5}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{25}{36} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{13}{36}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$