Resolver -3k^2+6k+1geq0

$$- 3 k ^ { 2 } + 6 k + 1 \geq 0$$

Ebatzi: k

$$k\in \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\end{bmatrix}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Biderkatu desberdintasuna -1 balioarekin -3k^{2}+6k+1 adierazpeneko berretura handieneko koefizientea positibo bihurtzeko. -1 negatiboa denez, aldatu egingo da desberdintasun-ekuazioaren noranzkoa.

$$3k^{2}-6k-1\leq 0$$

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$3k^{2}-6k-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$k=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin kalkuluak.

$$k=\frac{6±4\sqrt{3}}{6}$$

Ebatzi k=\frac{6±4\sqrt{3}}{6} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$k=\frac{2\sqrt{3}}{3}+1 k=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$3\left(k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\right)\left(k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\right)\leq 0$$

Biderkadura ≤0 izan dadin, k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right) eta k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right) balioetako bat ≥0 izan behar da, eta bestea ≤0 izan behar da. Hartu kasua kontuan k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0 eta k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0.

$$k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0 k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0$$

Hori beti gezurra da k guztien kasuan.

$$k\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0 eta k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0.

$$k-\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\geq 0 k-\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)\leq 0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa k\in \left[-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right] da.

$$k\in \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\end{bmatrix}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$k\in \begin{bmatrix}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1,\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\end{bmatrix}$$