Resolver -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -2x^{2}+ax+bx+24 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -48 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

13 batura duen parea da soluzioa.

$$a=16 b=-3$$

Berridatzi -2x^{2}+13x+24 honela: \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Deskonposatu -x+8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+8=0 eta 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 13 balioa b balioarekin, eta 24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 13 ber bi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 169 eta 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±19}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -13 eta 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Murriztu \frac{6}{-4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±19}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Zatitu -32 balioa -4 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Zatitu 13 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Zatitu -24 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Zatitu -\frac{13}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{13}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{13}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{13}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Gehitu 12 eta \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Gehitu \frac{13}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$