Resolver -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5.95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0.20974067$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -16 balioa a balioarekin, 92 balioa b balioarekin, eta 20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 92 ber bi.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Egin -4 bider -16.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 64 bider 20.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

Gehitu 8464 eta 1280.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

Atera 9744 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 2 bider -16.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -92 eta 4\sqrt{609}.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Zatitu -92+4\sqrt{609} balioa -32 balioarekin.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{609} ken -92.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Zatitu -92-4\sqrt{609} balioa -32 balioarekin.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

-16 balioarekin zatituz gero, -16 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

Murriztu \frac{92}{-16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

Murriztu \frac{-20}{-16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

Zatitu -\frac{23}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{23}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{23}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{23}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{529}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

Atera t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

Gehitu \frac{23}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$