Resolver -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

Ebatzi: t

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2.430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0.180038314$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -16 balioa a balioarekin, 36 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 36 ber bi.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Egin -4 bider -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 64 bider 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

Gehitu 1296 eta 448.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

Atera 1744 balioaren erro karratua.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

Egin 2 bider -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -36 eta 4\sqrt{109}.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Zatitu -36+4\sqrt{109} balioa -32 balioarekin.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

Orain, ebatzi t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{109} ken -36.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

Zatitu -36-4\sqrt{109} balioa -32 balioarekin.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

-16 balioarekin zatituz gero, -16 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

Murriztu \frac{36}{-16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

Zatitu -7 balioa -16 balioarekin.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

Zatitu -\frac{9}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

Gehitu \frac{7}{16} eta \frac{81}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

Atera t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

Gehitu \frac{9}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$