Resolver -1/12x^2+2/3x+5/3=0

$$- \frac { 1 } { 12 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-2$$

$$x=10$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -\frac{1}{12} balioa a balioarekin, \frac{2}{3} balioa b balioarekin, eta \frac{5}{3} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Egin \frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Egin -4 bider -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Egin \frac{1}{3} bider \frac{5}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4+5}{9}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Gehitu \frac{4}{9} eta \frac{5}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Egin 2 bider -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -\frac{2}{3} eta 1.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Zatitu \frac{1}{3} balioa -\frac{1}{6} frakzioarekin, \frac{1}{3} balioa -\frac{1}{6} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=-2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Zatitu -\frac{5}{3} balioa -\frac{1}{6} frakzioarekin, -\frac{5}{3} balioa -\frac{1}{6} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=10$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-2 x=10$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$$

\frac{5}{3} balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$\frac{-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{12}}=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

-\frac{1}{12} balioarekin zatituz gero, -\frac{1}{12} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{12}}x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Zatitu \frac{2}{3} balioa -\frac{1}{12} frakzioarekin, \frac{2}{3} balioa -\frac{1}{12} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-8x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Zatitu -\frac{5}{3} balioa -\frac{1}{12} frakzioarekin, -\frac{5}{3} balioa -\frac{1}{12} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-8x=20$$

Zatitu -8 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -4 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -4 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Egin -4 ber bi.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Gehitu 20 eta 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Atera x^{2}-8x+16 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Sinplifikatu.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10 x=-2$$