Resolver (200-x)(300-5x)=32000

$$(200-x)(300-5x)=32000$$

Ebatzi: x

$$x=10\sqrt{113}+130\approx 236.301458127$$

$$x=130-10\sqrt{113}\approx 23.698541873$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Erabili banaketa-propietatea 200-x eta 300-5x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$60000-1300x+5x^{2}=32000$$

Kendu 32000 bi aldeetatik.

$$60000-1300x+5x^{2}-32000=0$$

28000 lortzeko, 60000 balioari kendu 32000.

$$28000-1300x+5x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-1300x+28000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -1300 balioa b balioarekin, eta 28000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{\left(-1300\right)^{2}-4\times 5\times 28000}}{2\times 5}$$

Egin -1300 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-4\times 5\times 28000}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-20\times 28000}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 28000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-560000}}{2\times 5}$$

Gehitu 1690000 eta -560000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1130000}}{2\times 5}$$

Atera 1130000 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±100\sqrt{113}}{2\times 5}$$

-1300 zenbakiaren aurkakoa 1300 da.

$$x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1300 eta 100\sqrt{113}.

$$x=\frac{100\sqrt{113}+1300}{10}$$

Zatitu 1300+100\sqrt{113} balioa 10 balioarekin.

$$x=10\sqrt{113}+130$$

Orain, ebatzi x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 100\sqrt{113} ken 1300.

$$x=\frac{1300-100\sqrt{113}}{10}$$

Zatitu 1300-100\sqrt{113} balioa 10 balioarekin.

$$x=130-10\sqrt{113}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=10\sqrt{113}+130 x=130-10\sqrt{113}$$

Karratua osatzeko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 200-x eta 300-5x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$60000-1300x+5x^{2}=32000$$

Kendu 60000 bi aldeetatik.

$$-1300x+5x^{2}=32000-60000$$

-28000 lortzeko, 32000 balioari kendu 60000.

$$-1300x+5x^{2}=-28000$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-1300x=-28000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-1300x}{5}=-\frac{28000}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1300}{5}\right)x=-\frac{28000}{5}$$

Zatitu -1300 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-260x=-\frac{28000}{5}$$

Zatitu -28000 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-260x=-5600$$

Zatitu -260 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -130 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -130 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-260x+\left(-130\right)^{2}=-5600+\left(-130\right)^{2}$$

Egin -130 ber bi.

$$x^{2}-260x+16900=-5600+16900$$

Gehitu -5600 eta 16900.

$$x^{2}-260x+16900=11300$$

Atera x^{2}-260x+16900 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-130\right)^{2}=11300$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-130\right)^{2}}=\sqrt{11300}$$

Sinplifikatu.

$$x-130=10\sqrt{113} x-130=-10\sqrt{113}$$

Gehitu 130 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=10\sqrt{113}+130 x=130-10\sqrt{113}$$