Resolver (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Ebatzi: x

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293.13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66.86291501$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Erabili banaketa-propietatea 100-x eta 1300-5x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Kendu 32000 bi aldeetatik.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

98000 lortzeko, 130000 balioari kendu 32000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, -1800 balioa b balioarekin, eta 98000 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Egin -1800 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Gehitu 3240000 eta -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Atera 1280000 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

-1800 zenbakiaren aurkakoa 1800 da.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1800 eta 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

Zatitu 1800+800\sqrt{2} balioa 10 balioarekin.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Orain, ebatzi x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 800\sqrt{2} ken 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

Zatitu 1800-800\sqrt{2} balioa 10 balioarekin.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Erabili banaketa-propietatea 100-x eta 1300-5x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Kendu 130000 bi aldeetatik.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

-98000 lortzeko, 32000 balioari kendu 130000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

Zatitu -1800 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

Zatitu -98000 balioa 5 balioarekin.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Zatitu -360 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -180 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -180 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Egin -180 ber bi.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Gehitu -19600 eta 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Atera x^{2}-360x+32400 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Sinplifikatu.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Gehitu 180 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$