Resolver (y-4)^2=(y-4)(2y-1)

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = ( y - 4 ) ( 2 y - 1 )$$

Ebatzi: y

$$y=-3$$

$$y=4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(y-4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}-8y+16=\left(y-4\right)\left(2y-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y-4 eta 2y-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-9y+4$$

Kendu 2y^{2} bi aldeetatik.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-9y+4$$

-y^{2} lortzeko, konbinatu y^{2} eta -2y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-9y+4$$

Gehitu 9y bi aldeetan.

$$-y^{2}-8y+16+9y=4$$

y lortzeko, konbinatu -8y eta 9y.

$$-y^{2}+y+16=4$$

Kendu 4 bi aldeetatik.

$$-y^{2}+y+16-4=0$$

12 lortzeko, 16 balioari kendu 4.

$$-y^{2}+y+12=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -y^{2}+ay+by+12 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=1 ab=-12=-12$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=4 b=-3$$

Berridatzi -y^{2}+y+12 honela: \left(-y^{2}+4y\right)+\left(-3y+12\right).

$$\left(-y^{2}+4y\right)+\left(-3y+12\right)$$

Deskonposatu -y lehen taldean, eta -3 bigarren taldean.

$$-y\left(y-4\right)-3\left(y-4\right)$$

Deskonposatu y-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-4\right)\left(-y-3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-4=0 eta -y-3=0.

$$y=4 y=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(y-4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}-8y+16=\left(y-4\right)\left(2y-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y-4 eta 2y-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-9y+4$$

Kendu 2y^{2} bi aldeetatik.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-9y+4$$

-y^{2} lortzeko, konbinatu y^{2} eta -2y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-9y+4$$

Gehitu 9y bi aldeetan.

$$-y^{2}-8y+16+9y=4$$

y lortzeko, konbinatu -8y eta 9y.

$$-y^{2}+y+16=4$$

Kendu 4 bi aldeetatik.

$$-y^{2}+y+16-4=0$$

12 lortzeko, 16 balioari kendu 4.

$$-y^{2}+y+12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 1 balioa b balioarekin, eta 12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 1 ber bi.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 12.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1 eta 48.

$$y=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-1±7}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$y=\frac{-1±7}{-2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±7}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -1 eta 7.

$$y=\frac{6}{-2}$$

Zatitu 6 balioa -2 balioarekin.

$$y=-3$$

Orain, ebatzi y=\frac{-1±7}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken -1.

$$y=-\frac{8}{-2}$$

Zatitu -8 balioa -2 balioarekin.

$$y=4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=-3 y=4$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(y-4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$y^{2}-8y+16=\left(y-4\right)\left(2y-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea y-4 eta 2y-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-9y+4$$

Kendu 2y^{2} bi aldeetatik.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-9y+4$$

-y^{2} lortzeko, konbinatu y^{2} eta -2y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-9y+4$$

Gehitu 9y bi aldeetan.

$$-y^{2}-8y+16+9y=4$$

y lortzeko, konbinatu -8y eta 9y.

$$-y^{2}+y+16=4$$

Kendu 16 bi aldeetatik.

$$-y^{2}+y=4-16$$

-12 lortzeko, 4 balioari kendu 16.

$$-y^{2}+y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-y^{2}+y}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{1}{-1}y=-\frac{12}{-1}$$

Zatitu 1 balioa -1 balioarekin.

$$y^{2}-y=-\frac{12}{-1}$$

Zatitu -12 balioa -1 balioarekin.

$$y^{2}-y=12$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Gehitu 12 eta \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Atera y^{2}-y+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{7}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=4 y=-3$$