Resolver (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Ebatzi: d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,2,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. 3 eta 2 ekuazioen multiplo komun txikiena 6 da. Egin \frac{y^{3}}{3} bider \frac{2}{2}. Egin \frac{x^{2}}{2} bider \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

\frac{2y^{3}}{6} eta \frac{3x^{2}}{6} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak batu behar dituzu zatikien batura kalkulatzeko.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6} biderkatzeko.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Deuseztatu 12 eta 6 balioen faktore komunetan handiena (6).

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 2y^{3}+3x^{2} biderkatzeko.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Erabili banaketa-propietatea 12y+4y^{3}+6x^{2} eta d biderkatzeko.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Erabili banaketa-propietatea 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d eta x biderkatzeko.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x+xy^{2} biderkatzeko.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Erabili banaketa-propietatea 3x+3xy^{2} eta d biderkatzeko.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Erabili banaketa-propietatea 3xd+3xy^{2}d eta y biderkatzeko.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

15ydx lortzeko, konbinatu 12ydx eta 3xdy.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

7y^{3}dx lortzeko, konbinatu 4y^{3}dx eta 3xdy^{3}.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Konbinatu d duten gai guztiak.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Zatitu 0 balioa 15yx+7y^{3}x+6x^{3} balioarekin.

$$d=0$$

Ebatzi: x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$