Resolver (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Ebatzi x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Biderkadura negatiboa izan dadin, x-\left(\sqrt{2}+3\right) eta x-\left(3-\sqrt{2}\right) balioek kontrako zeinuak izan behar dituzte. Hartu kasua kontuan x-\left(\sqrt{2}+3\right) positiboa denean etax-\left(3-\sqrt{2}\right) negatiboa denean.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Hori beti gezurra da x guztien kasuan.

$$x\in \emptyset$$

Hartu kasua kontuan x-\left(3-\sqrt{2}\right) positiboa denean etax-\left(\sqrt{2}+3\right) negatiboa denean.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right) da.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$