Resolver (x-1)^2+(x+2)^2-(x-3)(x+3)=22

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 22$$

Ebatzi: x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x lortzeko, konbinatu -2x eta 4x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kasurako: \left(x-3\right)\left(x+3\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 3 ber bi.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Kendu 22 bi aldeetatik.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

-8 lortzeko, 14 balioari kendu 22.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu x^{2}+2x-8 formula hau erabilita: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=-8$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -8 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,8 -2,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=4$$

Berridatzi faktorizatutako adierazpena (\left(x+a\right)\left(x+b\right)) lortutako balioak erabilita.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x lortzeko, konbinatu -2x eta 4x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kasurako: \left(x-3\right)\left(x+3\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 3 ber bi.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Kendu 22 bi aldeetatik.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

-8 lortzeko, 14 balioari kendu 22.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -8 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,8 -2,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

2 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=4$$

Berridatzi x^{2}+2x-8 honela: \left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x lortzeko, konbinatu -2x eta 4x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kasurako: \left(x-3\right)\left(x+3\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 3 ber bi.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Kendu 22 bi aldeetatik.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

-8 lortzeko, 14 balioari kendu 22.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+32}}{2}$$

Gehitu 4 eta 32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{36}}{2}$$

Atera 36 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-2±6}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±6}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 6.

$$x=\frac{4}{2}$$

Zatitu 4 balioa 2 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{-2±6}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin 6 ken -2.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Zatitu -8 balioa 2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-4$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

\left(x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

2x lortzeko, konbinatu -2x eta 4x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Kasurako: \left(x-3\right)\left(x+3\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 3 ber bi.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

x^{2}-9 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Kendu 14 bi aldeetatik.

$$x^{2}+2x=22-14$$

8 lortzeko, 22 balioari kendu 14.

$$x^{2}+2x=8$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Gehitu 8 eta 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Atera x^{2}+2x+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sinplifikatu.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-4$$