Resolver (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 4x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

6x lortzeko, konbinatu -2x eta 8x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Kendu 16 bi aldeetatik.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

-11 lortzeko, 5 balioari kendu 16.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 5x^{2}+ax+bx-11 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -55 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,55 -5,11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

6 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-5 b=11$$

Berridatzi 5x^{2}+6x-11 honela: \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Deskonposatu 5x lehen taldean, eta 11 bigarren taldean.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 4x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

6x lortzeko, konbinatu -2x eta 8x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Kendu 16 bi aldeetatik.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

-11 lortzeko, 5 balioari kendu 16.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 5 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta -11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Egin 6 ber bi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Egin -4 bider 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Egin -20 bider -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Gehitu 36 eta 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Atera 256 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Egin 2 bider 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±16}{10} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Zatitu 10 balioa 10 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{-6±16}{10} ekuazioa ± minus denean. Egin 16 ken -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Murriztu \frac{-22}{10} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

5x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 4x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

6x lortzeko, konbinatu -2x eta 8x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

11 lortzeko, 16 balioari kendu 5.

$$5x^{2}+6x=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

5 balioarekin zatituz gero, 5 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Zatitu \frac{6}{5} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3}{5} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3}{5} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Egin \frac{3}{5} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Gehitu \frac{11}{5} eta \frac{9}{25} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Atera x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Egin ken \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$