Resolver (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Ebatzi: x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(x+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kasurako: \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 8 ber bi.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Garatu \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

9 lortzeko, egin 3 ber 2.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 9x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 lortzeko, 9 balioari kendu 64.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54 lortzeko, gehitu -55 eta 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+3 biderkatzeko.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x^{2}+3x+6 biderkatzeko.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} lortzeko, konbinatu 10x^{2} eta -3x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Kendu 9x bi aldeetatik.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x lortzeko, konbinatu 6x eta -9x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Kendu 18 bi aldeetatik.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72 lortzeko, -54 balioari kendu 18.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 7x^{2}+ax+bx-72 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -504 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-24 b=21$$

Berridatzi 7x^{2}-3x-72 honela: \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Deskonposatu 7x-24 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 7x-24=0 eta x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kasurako: \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 8 ber bi.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Garatu \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

9 lortzeko, egin 3 ber 2.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 9x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 lortzeko, 9 balioari kendu 64.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54 lortzeko, gehitu -55 eta 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+3 biderkatzeko.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x^{2}+3x+6 biderkatzeko.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} lortzeko, konbinatu 10x^{2} eta -3x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Kendu 9x bi aldeetatik.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x lortzeko, konbinatu 6x eta -9x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Kendu 18 bi aldeetatik.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

-72 lortzeko, -54 balioari kendu 18.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -72 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Gehitu 9 eta 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Atera 2025 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±45}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Murriztu \frac{48}{14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{24}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±45}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 45 ken 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Zatitu -42 balioa 14 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x+3\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kasurako: \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 8 ber bi.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Garatu \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

9 lortzeko, egin 3 ber 2.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

10x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta 9x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-55 lortzeko, 9 balioari kendu 64.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

-54 lortzeko, gehitu -55 eta 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x eta x+3 biderkatzeko.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x^{2}+3x+6 biderkatzeko.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

7x^{2} lortzeko, konbinatu 10x^{2} eta -3x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Kendu 9x bi aldeetatik.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

-3x lortzeko, konbinatu 6x eta -9x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Gehitu 54 bi aldeetan.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

72 lortzeko, gehitu 18 eta 54.

$$7x^{2}-3x=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Zatitu -\frac{3}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Gehitu \frac{72}{7} eta \frac{9}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Gehitu \frac{3}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$