Resolver (x+1)^2+(x+4)^2=4

$$( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 4$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i=-2.5+0.5i$$

$$x=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i=-2.5-0.5i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+4\right)^{2}=4$$

\left(x+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+8x+16=4$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+8x+16=4$$

10x lortzeko, konbinatu 2x eta 8x.

$$2x^{2}+10x+1+16=4$$

17 lortzeko, gehitu 1 eta 16.

$$2x^{2}+10x+17=4$$

Kendu 4 bi aldeetatik.

$$2x^{2}+10x+17-4=0$$

13 lortzeko, 17 balioari kendu 4.

$$2x^{2}+10x+13=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta 13 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 2\times 13}}{2\times 2}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 2\times 13}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-8\times 13}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider 13.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-104}}{2\times 2}$$

Gehitu 100 eta -104.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Atera -4 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±2i}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{-10±2i}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±2i}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 2i.

$$x=\frac{-10+2i}{4}$$

Zatitu -10+2i balioa 4 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±2i}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i ken -10.

$$x=\frac{-10-2i}{4}$$

Zatitu -10-2i balioa 4 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1+\left(x+4\right)^{2}=4$$

\left(x+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+8x+16=4$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2} eta x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1+8x+16=4$$

10x lortzeko, konbinatu 2x eta 8x.

$$2x^{2}+10x+1+16=4$$

17 lortzeko, gehitu 1 eta 16.

$$2x^{2}+10x+17=4$$

Kendu 17 bi aldeetatik.

$$2x^{2}+10x=4-17$$

-13 lortzeko, 4 balioari kendu 17.

$$2x^{2}+10x=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}+10x}{2}=-\frac{13}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{2}x=-\frac{13}{2}$$

Zatitu 10 balioa 2 balioarekin.

$$x^{2}+5x=-\frac{13}{2}$$

Zatitu 5 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{13}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{13}{2}+\frac{25}{4}$$

Gehitu -\frac{13}{2} eta \frac{25}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}$$

Atera x^{2}+5x+\frac{25}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i$$