Resolver (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Ebatzi: v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(v+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Kendu 2v^{2} bi aldeetatik.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

-v^{2} lortzeko, konbinatu v^{2} eta -2v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Kendu 2v bi aldeetatik.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

6v lortzeko, konbinatu 8v eta -2v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

7 lortzeko, 16 balioari kendu 9.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -v^{2}+av+bv+7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=7 b=-1$$

Berridatzi -v^{2}+6v+7 honela: \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Deskonposatu -v lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Deskonposatu v-7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi v-7=0 eta -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(v+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Kendu 2v^{2} bi aldeetatik.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

-v^{2} lortzeko, konbinatu v^{2} eta -2v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Kendu 2v bi aldeetatik.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

6v lortzeko, konbinatu 8v eta -2v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

7 lortzeko, 16 balioari kendu 9.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 6 ber bi.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 36 eta 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 64 balioaren erro karratua.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Orain, ebatzi v=\frac{-6±8}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -6 eta 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Zatitu 2 balioa -2 balioarekin.

$$v=-1$$

Orain, ebatzi v=\frac{-6±8}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 8 ken -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Zatitu -14 balioa -2 balioarekin.

$$v=7$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$v=-1 v=7$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(v+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Kendu 2v^{2} bi aldeetatik.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

-v^{2} lortzeko, konbinatu v^{2} eta -2v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Kendu 2v bi aldeetatik.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

6v lortzeko, konbinatu 8v eta -2v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Kendu 16 bi aldeetatik.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

-7 lortzeko, 9 balioari kendu 16.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Zatitu 6 balioa -1 balioarekin.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Zatitu -7 balioa -1 balioarekin.

$$v^{2}-6v=7$$

Zatitu -6 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -3 lortuko duzu. Ondoren, gehitu -3 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Egin -3 ber bi.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Gehitu 7 eta 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Atera v^{2}-6v+9 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sinplifikatu.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$v=7 v=-1$$