Resolver (r^2-2)+7/3r=0

$$( r ^ { 2 } - 2 ) + \frac { 7 } { 3 } r = 0$$

Ebatzi: r

$$r=-3$$

$$r=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r-2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, \frac{7}{3} balioa b balioarekin, eta -2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$r=\frac{-\frac{7}{3}±\sqrt{\left(\frac{7}{3}\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Egin \frac{7}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$r=\frac{-\frac{7}{3}±\sqrt{\frac{49}{9}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -2.

$$r=\frac{-\frac{7}{3}±\sqrt{\frac{49}{9}+8}}{2}$$

Gehitu \frac{49}{9} eta 8.

$$r=\frac{-\frac{7}{3}±\sqrt{\frac{121}{9}}}{2}$$

Atera \frac{121}{9} balioaren erro karratua.

$$r=\frac{-\frac{7}{3}±\frac{11}{3}}{2}$$

Orain, ebatzi r=\frac{-\frac{7}{3}±\frac{11}{3}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -\frac{7}{3} eta \frac{11}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$r=\frac{\frac{4}{3}}{2}$$

Zatitu \frac{4}{3} balioa 2 balioarekin.

$$r=\frac{2}{3}$$

Orain, ebatzi r=\frac{-\frac{7}{3}±\frac{11}{3}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{11}{3} ken -\frac{7}{3} izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$r=-\frac{6}{2}$$

Zatitu -6 balioa 2 balioarekin.

$$r=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$r=\frac{2}{3} r=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r=-\left(-2\right)$$

Egin -2 ken 0.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r=2$$

Zatitu \frac{7}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Gehitu 2 eta \frac{49}{36}.

$$r^{2}+\frac{7}{3}r+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Atera r^{2}+\frac{7}{3}r+\frac{49}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(r+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(r+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$r+\frac{7}{6}=\frac{11}{6} r+\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Egin ken \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$r=\frac{2}{3} r=-3$$