Resolver (k+1/4)^2-1/16-1/5=0

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

Ebatzi: k

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0.262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0.762347538$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

0 lortzeko, \frac{1}{16} balioari kendu \frac{1}{16}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1 balioa a balioarekin, \frac{1}{2} balioa b balioarekin, eta -\frac{1}{5} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Egin -4 bider -\frac{1}{5}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{4}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

Atera \frac{21}{20} balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -\frac{1}{2} eta \frac{\sqrt{105}}{10}.

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Zatitu -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} balioa 2 balioarekin.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{\sqrt{105}}{10} ken -\frac{1}{2}.

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Zatitu -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} balioa 2 balioarekin.

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

0 lortzeko, \frac{1}{16} balioari kendu \frac{1}{16}.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Gehitu \frac{1}{5} bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

Zatitu \frac{1}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

Gehitu \frac{1}{5} eta \frac{1}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

Atera k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

Egin ken \frac{1}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$