Resolver (5x-2)^2-(3x+4)^2=0

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(5x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

\left(3x+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

16x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -9x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

-44x lortzeko, konbinatu -20x eta -24x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

-12 lortzeko, 4 balioari kendu 16.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 4x^{2}+ax+bx-3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

-11 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=1$$

Berridatzi 4x^{2}-11x-3 honela: \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Deskonposatu 4x 4x^{2}-12x taldean.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(5x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

\left(3x+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

16x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -9x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

-44x lortzeko, konbinatu -20x eta -24x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

-12 lortzeko, 4 balioari kendu 16.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 16 balioa a balioarekin, -44 balioa b balioarekin, eta -12 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Egin -44 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Egin -4 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Egin -64 bider -12.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Gehitu 1936 eta 768.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Atera 2704 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

-44 zenbakiaren aurkakoa 44 da.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Egin 2 bider 16.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Orain, ebatzi x=\frac{44±52}{32} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 44 eta 52.

$$x=\frac{96}{32}$$

Zatitu 96 balioa 32 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{44±52}{32} ekuazioa ± minus denean. Egin 52 ken 44.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Murriztu \frac{-8}{32} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(5x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

\left(3x+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

9x^{2}+24x+16 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

16x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -9x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

-44x lortzeko, konbinatu -20x eta -24x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

-12 lortzeko, 4 balioari kendu 16.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Gehitu 12 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$16x^{2}-44x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

16 balioarekin zatituz gero, 16 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

Murriztu \frac{-44}{16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

Murriztu \frac{12}{16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Zatitu -\frac{11}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Gehitu \frac{3}{4} eta \frac{121}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Gehitu \frac{11}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$