Resolver (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(5x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Kasurako: \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 1 ber bi.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Garatu \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

21x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -4x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Kendu 47 bi aldeetatik.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

-42 lortzeko, 5 balioari kendu 47.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

-21x lortzeko, konbinatu -20x eta -x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$x^{2}-x-2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=-2 b=1$$

Berridatzi x^{2}-x-2 honela: \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Deskonposatu x x^{2}-2x taldean.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Deskonposatu x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-2=0 eta x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(5x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Kasurako: \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 1 ber bi.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Garatu \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

21x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -4x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Kendu 47 bi aldeetatik.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

-42 lortzeko, 5 balioari kendu 47.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

-21x lortzeko, konbinatu -20x eta -x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 21 balioa a balioarekin, -21 balioa b balioarekin, eta -42 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Egin -21 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Egin -4 bider 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Egin -84 bider -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Gehitu 441 eta 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Atera 3969 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21 zenbakiaren aurkakoa 21 da.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Egin 2 bider 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Orain, ebatzi x=\frac{21±63}{42} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 21 eta 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Zatitu 84 balioa 42 balioarekin.

$$x=2$$

Orain, ebatzi x=\frac{21±63}{42} ekuazioa ± minus denean. Egin 63 ken 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Zatitu -42 balioa 42 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=2 x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(5x-2\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Kasurako: \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 1 ber bi.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Garatu \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

21x^{2} lortzeko, konbinatu 25x^{2} eta -4x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

5 lortzeko, gehitu 4 eta 1.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

-21x lortzeko, konbinatu -20x eta -x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

42 lortzeko, 47 balioari kendu 5.

$$21x^{2}-21x=42$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

21 balioarekin zatituz gero, 21 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Zatitu -21 balioa 21 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Zatitu 42 balioa 21 balioarekin.

$$x^{2}-x=2$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Gehitu 2 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2 x=-1$$