Resolver (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0.266666667+0.249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0.266666667-0.249443826i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(4x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kasurako: \left(x-1\right)\left(x+1\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 1 ber bi.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

15x^{2} lortzeko, konbinatu 16x^{2} eta -x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

2 lortzeko, gehitu 1 eta 1.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 15 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Egin -4 bider 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Egin -60 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Gehitu 64 eta -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Atera -56 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Egin 2 bider 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Zatitu 8+2i\sqrt{14} balioa 30 balioarekin.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{14} ken 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Zatitu 8-2i\sqrt{14} balioa 30 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(4x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Kasurako: \left(x-1\right)\left(x+1\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Egin 1 ber bi.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

15x^{2} lortzeko, konbinatu 16x^{2} eta -x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Kendu 1 bi aldeetatik.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

-2 lortzeko, -1 balioari kendu 1.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 balioarekin zatituz gero, 15 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Zatitu -\frac{8}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{15} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{15} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{15} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Gehitu -\frac{2}{15} eta \frac{16}{225} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Atera x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Gehitu \frac{4}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$