Resolver (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Ebatzi: x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

48 lortzeko, biderkatu 16 eta 3.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Deuseztatu 8 eta 2 balioen faktore komunetan handiena (2).

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. Egin 48 bider \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} eta \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak batu behar dituzu zatikien batura kalkulatzeko.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} biderkatzeko.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

192 lortzeko, biderkatu 48 eta 4.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Garatu \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Adierazi 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} frakzio bakar gisa.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Sinplifikatu 4 eta 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

48 lortzeko, biderkatu 16 eta 3.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2}\times 3 eta x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Kendu 624 bi aldeetatik.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

-432 lortzeko, 192 balioari kendu 624.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, x^{2}+ax+bx-108 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -108 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

12 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=18$$

Berridatzi x^{2}+12x-108 honela: \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 18 bigarren taldean.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Deskonposatu x-6 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-6=0 eta x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

48 lortzeko, biderkatu 16 eta 3.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Deuseztatu 8 eta 2 balioen faktore komunetan handiena (2).

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. Egin 48 bider \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} eta \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak batu behar dituzu zatikien batura kalkulatzeko.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} biderkatzeko.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

192 lortzeko, biderkatu 48 eta 4.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Garatu \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Adierazi 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} frakzio bakar gisa.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Sinplifikatu 4 eta 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

48 lortzeko, biderkatu 16 eta 3.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2}\times 3 eta x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Kendu 624 bi aldeetatik.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

-432 lortzeko, 192 balioari kendu 624.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 4 balioa a balioarekin, 48 balioa b balioarekin, eta -432 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Egin 48 ber bi.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Egin -4 bider 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Egin -16 bider -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Gehitu 2304 eta 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Atera 9216 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±96}{8} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -48 eta 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Zatitu 48 balioa 8 balioarekin.

$$x=6$$

Orain, ebatzi x=\frac{-48±96}{8} ekuazioa ± minus denean. Egin 96 ken -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Zatitu -144 balioa 8 balioarekin.

$$x=-18$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=6 x=-18$$

Karratua osatzeko urratsak

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

48 lortzeko, biderkatu 16 eta 3.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Deuseztatu 8 eta 2 balioen faktore komunetan handiena (2).

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\frac{x\sqrt{3}}{2} berretzeko, berretu zenbakitzailea eta izendatzailea eta, ondoren, egin zatiketa.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Adierazpenak gehitzeko edo kentzeko, zabal itzazu izendatzaileak berdintzeko. Egin 48 bider \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} eta \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} balioek izendatzaile bera dutenez, zenbakitzaileak batu behar dituzu zatikien batura kalkulatzeko.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} biderkatzeko.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

192 lortzeko, biderkatu 48 eta 4.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Garatu \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 lortzeko, egin 2 ber 2.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Adierazi 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} frakzio bakar gisa.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Sinplifikatu 4 eta 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

48 lortzeko, biderkatu 16 eta 3.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu x^{2}\times 3 eta x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Kendu 192 bi aldeetatik.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

432 lortzeko, 624 balioari kendu 192.

$$4x^{2}+48x=432$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

4 balioarekin zatituz gero, 4 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Zatitu 48 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Zatitu 432 balioa 4 balioarekin.

$$x^{2}+12x=108$$

Zatitu 12 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 6 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 6 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Egin 6 ber bi.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Gehitu 108 eta 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Atera x^{2}+12x+36 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Sinplifikatu.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=6 x=-18$$