Resolver (3k+4)^2=25

$$( 3 k + 4 ) ^ { 2 } = 25$$

Ebatzi: k

$$k=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$k=-3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(3k+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9k^{2}+24k+16=25$$

Kendu 25 bi aldeetatik.

$$9k^{2}+24k+16-25=0$$

-9 lortzeko, 16 balioari kendu 25.

$$9k^{2}+24k-9=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$3k^{2}+8k-3=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 3k^{2}+ak+bk-3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=8 ab=3\left(-3\right)=-9$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -9 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,9 -3,3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+9=8 -3+3=0$$

8 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-1 b=9$$

Berridatzi 3k^{2}+8k-3 honela: \left(3k^{2}-k\right)+\left(9k-3\right).

$$\left(3k^{2}-k\right)+\left(9k-3\right)$$

Deskonposatu k lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$k\left(3k-1\right)+3\left(3k-1\right)$$

Deskonposatu 3k-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3k-1\right)\left(k+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3k-1=0 eta k+3=0.

$$k=\frac{1}{3} k=-3$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(3k+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9k^{2}+24k+16=25$$

Kendu 25 bi aldeetatik.

$$9k^{2}+24k+16-25=0$$

-9 lortzeko, 16 balioari kendu 25.

$$9k^{2}+24k-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 24 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\left(-9\right)}}{2\times 9}$$

Egin 24 ber bi.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\left(-9\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-36\left(-9\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -9.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576+324}}{2\times 9}$$

Gehitu 576 eta 324.

$$k=\frac{-24±\sqrt{900}}{2\times 9}$$

Atera 900 balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-24±30}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$k=\frac{-24±30}{18}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-24±30}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -24 eta 30.

$$k=\frac{6}{18}$$

Murriztu \frac{6}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k=\frac{1}{3}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-24±30}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 30 ken -24.

$$k=-\frac{54}{18}$$

Zatitu -54 balioa 18 balioarekin.

$$k=-3$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=\frac{1}{3} k=-3$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(3k+4\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9k^{2}+24k+16=25$$

Kendu 16 bi aldeetatik.

$$9k^{2}+24k=25-16$$

9 lortzeko, 25 balioari kendu 16.

$$9k^{2}+24k=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9k^{2}+24k}{9}=\frac{9}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{24}{9}k=\frac{9}{9}$$

Murriztu \frac{24}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$k^{2}+\frac{8}{3}k=\frac{9}{9}$$

Zatitu 9 balioa 9 balioarekin.

$$k^{2}+\frac{8}{3}k=1$$

Zatitu \frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{8}{3}k+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{8}{3}k+\frac{16}{9}=1+\frac{16}{9}$$

Gehitu 1 eta \frac{16}{9}.

$$k^{2}+\frac{8}{3}k+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$

Atera k^{2}+\frac{8}{3}k+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{4}{3}=\frac{5}{3} k+\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=\frac{1}{3} k=-3$$