Resolver (3-y)^2+y^2=12

$$( 3 - y ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 12$$

Ebatzi: y

$$y = \frac{\sqrt{15} + 3}{2} \approx 3.436491673$$

$$y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}\approx -0.436491673$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(3-y\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$9-6y+y^{2}+y^{2}=12$$

2y^{2} lortzeko, konbinatu y^{2} eta y^{2}.

$$9-6y+2y^{2}=12$$

Kendu 12 bi aldeetatik.

$$9-6y+2y^{2}-12=0$$

-3 lortzeko, 9 balioari kendu 12.

$$-3-6y+2y^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2y^{2}-6y-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -6 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Egin -6 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -3.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+24}}{2\times 2}$$

Gehitu 36 eta 24.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{60}}{2\times 2}$$

Atera 60 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{15}}{2\times 2}$$

-6 zenbakiaren aurkakoa 6 da.

$$y=\frac{6±2\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$y=\frac{6±2\sqrt{15}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{6±2\sqrt{15}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 6 eta 2\sqrt{15}.

$$y=\frac{2\sqrt{15}+6}{4}$$

Zatitu 6+2\sqrt{15} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{15}+3}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{6±2\sqrt{15}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{15} ken 6.

$$y=\frac{6-2\sqrt{15}}{4}$$

Zatitu 6-2\sqrt{15} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=\frac{\sqrt{15}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(3-y\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$9-6y+y^{2}+y^{2}=12$$

2y^{2} lortzeko, konbinatu y^{2} eta y^{2}.

$$9-6y+2y^{2}=12$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$-6y+2y^{2}=12-9$$

3 lortzeko, 12 balioari kendu 9.

$$-6y+2y^{2}=3$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$2y^{2}-6y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2y^{2}-6y}{2}=\frac{3}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)y=\frac{3}{2}$$

Zatitu -6 balioa 2 balioarekin.

$$y^{2}-3y=\frac{3}{2}$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{15}{4}$$

Atera y^{2}-3y+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{\sqrt{15}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$