Resolver (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Ebatzi: y

$$y=-1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(3+2y\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

6y^{2} lortzeko, konbinatu 4y^{2} eta 2y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

6 lortzeko, 9 balioari kendu 3.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, y^{2}+ay+by+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=1 b=1$$

Berridatzi y^{2}+2y+1 honela: \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Deskonposatu y y^{2}+y taldean.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Deskonposatu y+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi y+1=0.

$$y=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(3+2y\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

6y^{2} lortzeko, konbinatu 4y^{2} eta 2y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

6 lortzeko, 9 balioari kendu 3.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, 12 balioa b balioarekin, eta 6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Egin 12 ber bi.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Gehitu 144 eta -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Zatitu -12 balioa 12 balioarekin.

$$y=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(3+2y\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

6y^{2} lortzeko, konbinatu 4y^{2} eta 2y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

-6 lortzeko, 3 balioari kendu 9.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Zatitu 12 balioa 6 balioarekin.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Zatitu -6 balioa 6 balioarekin.

$$y^{2}+2y=-1$$

Zatitu 2 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 1 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 1 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Egin 1 ber bi.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Gehitu -1 eta 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Atera y^{2}+2y+1 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$y+1=0 y+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-1 y=-1$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$y=-1$$